Föddes i Stockholm och blev staden trogen under hela sitt liv. Han avlade sin hovrättsexamen vid Svea hovrätt och utnämndes därefter till vice häradshövding och senare assessor, revisionssekreterare, byråchef för lagärenden och slutligen justitieråd.
Wedberg var en av SNF:s grundare och även dess ordförande 1903-1906. Utöver detta var han också en flitig medarbetare till dom första 15 banden av Numismatiska Meddelanden, där han signerade sina artiklar med sina initialer J.O.W. Hans svenska myntsamling dokumenterades i Appelgrens auktionskataloger vid försäljningen 1912 och innehöll inte mindre än 2218 objekt.Appelgren 15 avhölls i oktober 1912 och innehöll de 680 äldsta svenska mynten.Appelgren 16 avhölls i november 1912 och innehöll 1177 mynt fram till Oscar II.Appelgren 17 avhölls i december 1912 och innehöll plåtmynt och utländska mynt, sammanlagt 361 svenska objekt.Appelgren 19 avhölls 1913 och innehöll Wedbergs medaljsamling.
Bland rariteterna i hans samling kan nämnas:
1/4 Riksdaler 1578 i ocirkulerad kvalitet
Sigismundriksdaler 1594
Axel Oxenstiernas riksdaler utan år (Würtzburg)
2 riksdaler 1674 (Bremen und Werden)
(Källa: Högbergs bok)
Adolf Fredrik
1 Dukat 1754, 1770 och 1771
Ädelforsdukat 1761
1 Riksdaler alla årtal utom 1757, 1759 och 1761
1/2 Riksdaler samtliga årtal
1/4 Riksdaler alla årtal utom 1760
4 Mark 1755
2 Mark 1754
10 Öre alla årtal utom 1755 och 1761
Gustav III
Dukat 1777, 1782 och 1786
Ädelforsdukat 1783
1/6 Riksdaler 1787
Gustav IV Adolf
Dukat 1796, 1799, 1800, 1804, 1805, 1807, 1808 och 1809
Ädelforsdukat 1801
Daladukat 1804
Karl XIII
Dukater 1810, 1811, 1812, 1813, 1814, 1815, 1816 och 1817
1 Riksdaler 1814 med NORR
1/6 Riksdaler 1817
Begravningen 1818 med jordglob Appelgren 19 (1913) till Sven Svensson
1/4 Skilling 1817 slagen på 1/24 Riksdaler 1779
1/12 Skilling 1812 slagen på 1/12 Riksdaler 1779
Karl XIV Johan
4 Dukater 1843
2 Dukater 1838 och 1843
1 Dukat alla årtal utom 1819 och 1824
1 Riksdaler 1820 med Karl XIII:s bild präglad i koppar Detta var länge den enda präglingen med denna stampkombination som man kände till.
1 Riksdaler 1829, ”Troyska ass”
1 Riksdaler 1829, porträtt som på ”Troyska ass” men utan randskrift
1 Riksdaler Specie 1837 och 1837 med G
1/6 Riksdaler 1828
1/8 Riksdaler 1830, en med räfflad rand och en med ”randprydnad”
1/8 Riksdaler 1836 och 1837
Riksdaler Banco 1829 (provmynt)
Oscar I
4 Dukater 1850
2 Dukater 1857
1 Dukat 1844
1/2 Riksdaler Specie 1852
1/4 Riksdaler Specie 1852
4 Riksdaler Riksmynt 1855
4 Riksdaler Riksmynt 1856 med 1855 års bild
Karl XV
Ingen av rariteterna